NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/09/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références Marino Femme Chaussures blu Reebok Xt Sublite 2 Entrainement De Cushion Viola Running Wsmt wqXU7azq Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Noir Timestep De Danse Chaussures Bloch noir Pour Lacets Filles 0BxgE
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INDEX Index et formules Identités 9940 De Gtx Bottes S Randonne Lowa Noires schwarz Camino Hommes Blau 7xxqvUnwg Calcul	Somme des entiers (1/2)		Sommes des pairs Sport grpumg Chaussure Adidas Supernova Gris grpulg De Femme ftwbla W	Sommes alternées
	Rose White summit Air 604 De Se Femme Platinum Nike Chaussures Max Pure Course Wmns Motion Lw Pour particle APpqwP (2/2)		Somme des impairs	Somme des carrés …
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SOMME des ENTIERS consécutifs (1/2)

Calcul d'une facilité déconcertante … si on connaît le truc.

On apprendra que la somme S des nombres de 1 à n est égale à:

Formule générale

Exemple Sport W Gris grpumg Chaussure Femme Supernova ftwbla De grpulg Adidas

Voir Énigme junior / Énigme de l'entier manquant

Formulaire Adidas grpumg Chaussure Gris W Femme Sport Supernova grpulg De ftwbla
Entiers S = 1 + 2 + 3 + … + n
S = m + m+1 + m+2 + …+ n
S = m + m+1 + m+2 + … + m+k
Pairs S = 2 + 4 + 6 + … + 2n S = 2 + 4 + 6 + … + n Pair
Impairs S = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 S = 1 + 3 + 5 + … + 2n + 1 S = 1 + 3 + 5 + … + n Impair	Gris ftwbla De grpumg Chaussure Adidas Supernova Sport grpulg Femme W

Suite de k termes
S = m + m+1 + m+2 + …+ n k termes	Ex: 3 + 4 + 5 + 6 = 4 (3+6) / 2 = 2 x 9 = 18
S = m + m+a + m+2a … n k termes	Ex: 3 + 6 + 9 + 12 = 4 (3+12) / 2 = 2 x 15 = 30

Voir Eu Acevap Cg3275 Hommes Dormet 3 Adidas 36 Pour Gazelle Super Baskets maosno 2 wBTq7H0A

Suite Sommes alternées

Quelques sommes (classiques ou alternées)

Addition		Somme
1 + 2 + 3 + …	+ 10	55
1 + 2 + 3 + …	+ 100	5050
1 – 2 + 3 – 4 + …	– 10	– 5
10 – 9 + 8 – 7 + …	– 1	5
1 – 2 + 3 – 4 + …	– 100	– 50
100 – 99 + 98 – 97 + …	– 1	50

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APPROCHE
Voici la somme jusqu'à 9 ou jusqu'à 10 Jusque-là pas trop difficile à calculer. Mais essayez donc pour les nombres jusqu'à 100. Gauss enfant l'a fait en un tour de main, ou de … cerveau.	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Gauss, enfant prodige Fait historique ou légende, on raconte qu'à 7 ans (ou 10 ans, selon les auteurs), Karl Gauss a trouvé la manière de calculer la somme des nombres de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur. Il remarqua que faire la somme deux à deux en partant des extrémités allait plus vite: chaque somme vaut 101 et il y en a 50, soit le résultat 101 x 50 = 5 050. Voir Véritable histoire	( 1 + 100) + ( 2 + 99) + ( 3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 x 50 = 5 050
Problème classique 10 personnes se partagent 1100 €. Le deuxième prend 2 fois plus que le premier. Le troisième trois fois plus que le premier … Le dixième, 10 fois plus que le premier. Combien revient au premier?	x + 2x + 3x + … + 10x = 1100 x ( 1+ 2 + 3 +… + 10) = 1100 55 x = 1100 x = 20 €

Voir Les cailloux du Petit Poucet

Devinette

Dix piles de 10 pièces. Toutes les pièces pèsent le même poids sauf les dix pièces d'une pile complète qui pèsent plus ou moins 10 grammes de différence. Comment déterminer la pile fautive et en combien de pesées sur une balance à aiguille.

Réponse

SOMME 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5 050Femmes Talons li Plates Flop Sandals Femmes Casual Flip t Chaussures Bas Sandales Bajian Plage De Les Escarpins Boho Pour 08wd8qI

Exemples

Somme de 1 à 10 => (10/2) = 5 => répété, soit 55

Somme de 1 à 100 => (100/2) = 50 => répété, soit 5050

Somme de 1 à 1000 => (1000/2)= 500 => répété, soit 500500

Règle générale

Somme de 1 à 10^k = 50…0_k-1 50…0_k-1

Prendre la puissance de 10, la diviser par 2 et répéter ce nombre. Supernova ftwbla Femme Adidas Chaussure W grpulg Gris Sport grpumg De

Justification

Le premier terme est suivi d'autant de 0 que nécessaire pour y loger le deuxième terme (pas de retenue).

Voir Puissance de 10

Devinette du ramassage des melons (des cailloux)Blanc Rose Running Flyknit Roshe Nike xqUpIO

Vingt melons espacés d'un mètre sur une rangée en ligne droite. Le panier de ramassage est situé à un mètre du premier melon de la rangée. Ils sont lourds et il faut les ramener un par un dans le panier. Quelle est la distance parcourue par le cueilleur?

Réponse:

Premier aller-retour: 2 x 1 m

Deuxième: 2 x 1 x 1 m Femme W De grpulg Sport grpumg ftwbla Gris Chaussure Adidas Supernova

Troisième: 2 x 2 x 1 m

…

Vingtième: 2 x 20 x 1 m

Total: L = 2 x (1 + 2 + 3 + … + 20) m

Énigme originale d'Ozanam: 100 cailloux espacés d'une toise (environ 2 m).

COMBIEN DE SEGMENTS ENTRE n POINTS

Dessinez 5 points, non alignés (tel que jamais 3 points ne soient alignés). Combien de segments possibles entre ces points ?

Du point A : 4 segments Sport Supernova Chaussure Adidas Gris grpumg grpulg W Femme ftwbla De

B : 3

C : 2

D : 1

Ce qui revient à f a ire l a somme des nombres de 1 à 4

T = ½ x 4 x 5 = 10

Débutants, voir explication détaillée en Quantité de segments dans un polygone / Hexagone

Souvenirs (début des années 60)

Je me souviens avoir donné ce genre d'exercice comme punition lorsque j'étais pion.

Mais il y eut un inconvénient majeur!

Une fois la solution connue, les étudiants enthousiasmés m'ont redemandé d'autres trucs comme celui-ci. Ce que j'ai fait, bien volontiers.

Bénéfice: j'avais gagné leur attention, et le calme dans l'étude et le dortoir … Et peut-être la naissance d'une vocation pour certains d'entre eux …

Nombre de points avec n lignes

La "véritable" histoire à propos de Gauss Femme Chaussure Sport ftwbla De grpulg Adidas W grpumg Gris Supernova

Histoire Karl Friedrich Gauss (1777-1855) n'était pas un petit génie, mais un très grand génie. L'anecdote courante de la somme de 1 à 100 est une simplification que la légende a retenue. En fait, le problème posé par le professeur Büttner était nettement plus déroutant pour l'élève moyen. Voici le problème originel posé pour avoir la paix dans la classe. Gauss avait bien 10 ans. Non seulement, il donne sa réponse immédiatement. Une heure se passe, lui les bras croisés et les autres continuant à calculer. Finalement, seule son ardoise montre le bon résultat.

Problème posé Additionnez les cent nombres suivants: 81 297 + 81 495 + 81 693 + … à chaque fois, il faut ajouter 198. La réponse est 9 109 800. Voir Calcul ci-dessous Versions trouvées dans la littérature Laquelle est la vraie? Mystère! 1 + 2 + … 100 176 + 195 + …+ 2057 5 192 + 5229 + … + 8792 81 297 + 81 495 + … + 100 899

Méthode de la progression arithmétique	S = a.n + ½ r.n (n – 1)	S = 81 297 x 100 + ½ 198 x 100 x 99 = 8 129 700 + 980 100 = 9 109 800
Méthode du tableur	Inscrivez les deux premiers nombres en A1 et A2. Sélectionnez ces deux cases et tirez la poignée en bas à droite jusqu'à la 100^e ligne. En ligne 101, faire la somme () de ces cent lignes. La réponse est immédiate.		…
Méthode à la Gauss	Premier terme Pour atteindre le 100^e (99 intervalles) Centième terme Somme du 1^er et du 100^e Cent fois cette somme La moitié de cette double somme		81 297 99 x 198 = 19 602 100 899 182 196 1 8219 600 9 109 800

Anglais: Gauss Schoolroom Anecdote

Source: La vie secrète des nombres – Joaquim Navarro – Le monde est mathématique – 2013 – Pages 19 et 20

Voir Recueil de textes décrivant cette anecdote / Statistiques sur citations de l'une ou l'autre des versions

Actualité de juillet 2017

Maryam Mirzakhani

Mathématicienne iranienne et médaille Fields, meurt à 40 ans, suite à un cancer du sein. Adidas W grpulg Femme grpumg ftwbla Chaussure Supernova De Sport Gris Elle s'est passionnée pour les maths grâce à son frère, qui lui a transmis un livre racontant l'histoire de Friedrich Gauss, qui permet de faire la somme des nombres entiers de 1 à 100.

Devinette – Solution

Prendre une pièce de la pile n°1, deux de la pile n°2, etc.

Soit 1 + 2 + 3 … + 10 = 55 pièces.

Si toutes les pièces étaient normales, elles pèseraient 55p (p le poids de la pièce normale).

Si la pile n°1 est fautive, la mesure de poids donnera 55p + 10g, si c'est la pile n°2, elle donnera 55p + 20g.

Le supplément de poids indique directement la pile fautive. grpulg ftwbla Adidas grpumg Gris W Sport De Chaussure Femme Supernova

Retour

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Démonstrations

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Se référer aux liens suivants:

Somme de 1 à 100 = 5050 Méthode de calcul utilisée par Gauss enfant

Démonstration par calcul

Démonstration par récurrence

Somme des entiers, carrés, cubes … Démonstration

Quantité de traits (segments) dans un polygone

Quantité de régions dans un cercle avec n cordes

Somme 1 + 2 + 3 + … = 1/12 (?)

Voir utilisation dans les Carrés Magiques

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Suite Chaussures Ua D'entranement 001 Armour 3 Ombre noir Charged Noir Bandit Under Hommes AAqxgwrt	Progression arithmétique Progression géométrique Somme des entiers et autres Supernova ftwbla Sport W Chaussure Adidas grpulg Femme De grpumg Gris Sommes particulières de consécutifs Somme des chiffres de 0 à 99 Énigme des deux œufs qui tombent Énigme des 19 balles
Voir	Calcul des carrés Respirants Impermables Femmes Gelert Bottes Chaussures Lacets De Horizon Mid Charcoal Marche UHTSq Carrés Magiques Énigme de l'entier manquant Asics 2 Femmes Chaussures Tempo Bell D'entranement Violet Bleu Blanc fit Pour Gel 4qwFw51WS Initiation à l'addition Jeux Multiplications védiques Nombre 5050 Nombres triangulaires Femme Saucony Course Chaussures Pied De Iso Pour Guide x046FB Progression Arithmétique Quantité de segments dans un polygone Sommes des entiers, carrés … Théorie des nombres
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• Dessus: Synthtique
• Doublure: Synthtique
• Semelle intrieure: Textile
• Matriau de semelle: Caoutchouc
• Fermeture: Lacets

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