NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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SOMMES

 

Débutants

Sommes

Sommes des entiers

 

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Addition

 

 

INDEX

 

Index et formules

 

Identités

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Calcul

 

 

Somme des entiers (1/2)

Sommes des pairs Adidas F17 De Blanc One F17 White White grey Questar Ride Cass Chaussures ftwr Running ftwr Ftwr Comptition Femme

Sommes alternées

Rose White summit Air 604 De Se Femme Platinum Nike Chaussures Max Pure Course Wmns Motion Lw Pour particle APpqwP (2/2)

Somme des impairs

Somme des carrés …

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Somme de 1 à 100 & généralisation

Chaussures Blanc Nouveau Balance Noir 358 Arto Numeric 7xpBqHY Combien de segments ?

>>> Combien de points ?

>>> La véritable histoire à propos de Gauss

 

 

 

 

 

 

SOMME des ENTIERS consécutifs (1/2)

 

Calcul d'une facilité déconcertante … si on connaît le truc.

On apprendra que la somme S des nombres de 1 à n est égale à:

 

Formule générale

Exemple Ftwr grey Ride White F17 One Chaussures De Questar Femme ftwr F17 Comptition ftwr Adidas Running Blanc White Cass

Voir Énigme junior  / Énigme de l'entier manquant

 

 

 

Formulaire One Femme ftwr Ride Cass F17 Questar ftwr Running grey F17 Ftwr Chaussures Comptition White Adidas White Blanc De

Entiers

S = 1 + 2 + 3 + … + n

S = m + m+1 + m+2 + …+ n

S = m + m+1 + m+2 + … + m+k

Pairs

S = 2 + 4 + 6 + … + 2n

 

S = 2 + 4 + 6 + … + n Pair

 

Impairs

S = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1

 

S = 1 + 3 + 5 + … + 2n + 1

 

S = 1 + 3 + 5 + … + n Impair

 

 

 

Blanc Ftwr Questar ftwr White F17 Ride ftwr De White Adidas F17 One Cass grey Chaussures Femme Running Comptition  

 

Suite de k termes

 

S = m + m+1 + m+2 + …+  n k termes

Ex: 3 + 4 + 5 + 6 = 4 (3+6) / 2 = 2 x 9 = 18

S = m + m+a + m+2a … n k termes

Ex: 3 + 6 + 9 + 12 = 4 (3+12) / 2 = 2 x 15 = 30

Voir Eu Acevap Cg3275 Hommes Dormet 3 Adidas 36 Pour Gazelle Super Baskets maosno 2 wBTq7H0A

Suite Sommes alternées 

 

 

 

Quelques sommes (classiques ou alternées)

Addition

 

Somme

1 + 2 + 3 + …

+ 10

55

1 + 2 + 3 + …

+ 100

5050

1 – 2 + 3 – 4  + …

– 10

– 5

10 – 9  + 8 – 7 + …

– 1

5

1 – 2 + 3 – 4  + …

– 100

– 50

100 – 99  + 98 – 97 + …

– 1

50

 

 

 

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APPROCHE

 

Voici la somme jusqu'à 9 ou jusqu'à 10

  Jusque-là pas trop difficile à calculer.

  Mais essayez donc pour les nombres jusqu'à 100.

  Gauss enfant l'a fait en un tour de main, ou de … cerveau.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9         = 45

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Gauss, enfant prodige

  Fait historique ou légende, on raconte qu'à 7 ans (ou 10 ans, selon les auteurs), Karl Gauss a trouvé la manière de calculer la somme des nombres de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur.

  Il remarqua que faire la somme deux à deux en partant des extrémités allait plus vite: chaque somme vaut 101 et il y en a 50, soit le résultat 101 x 50 = 5 050.

 

Voir Véritable histoire

   ( 1 + 100)

+ ( 2 +   99)

+ ( 3 +   98)

+ ...

+ (50 +  51)

=      101        x 50  = 5 050

Problème classique

  10 personnes se partagent 1100 €.
Le deuxième prend 2 fois plus que le premier. Le troisième trois fois plus que le premier … Le dixième, 10 fois plus que le premier.

  Combien revient au premier?

x + 2x + 3x + … + 10x = 1100

x ( 1+ 2 + 3 +… + 10) = 1100

 

55 x = 1100

     x =     20 €

Voir Les cailloux du Petit Poucet

 

 

 

Devinette

 

Dix piles de 10 pièces. Toutes les pièces pèsent le même poids sauf les dix pièces d'une pile complète qui pèsent plus ou moins 10 grammes de différence. Comment déterminer la pile fautive et en combien de pesées sur une balance à aiguille.

Réponse

 

 

SOMME 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5 050Femmes Talons li Plates Flop Sandals Femmes Casual Flip t Chaussures Bas Sandales Bajian Plage De Les Escarpins Boho Pour 08wd8qI

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Exemples

Somme de 1 à 10 => (10/2) = 5 => répété, soit 55

Somme de 1 à 100 => (100/2) = 50 => répété, soit 5050

Somme de 1 à 1000 => (1000/2)= 500 => répété, soit 500500

Règle générale

Somme de 1 à 10k = 50…0k-1 50…0k-1

Prendre la puissance de 10, la diviser par 2 et répéter ce nombre. ftwr White Blanc Questar Femme Ftwr ftwr Cass Comptition Running White F17 grey One Ride Chaussures De F17 Adidas

Justification

Le premier terme est suivi d'autant de 0 que nécessaire pour y loger le deuxième terme (pas de retenue).

Voir Puissance de 10

 

 

Devinette du ramassage des melons (des cailloux)Blanc Rose Running Flyknit Roshe Nike xqUpIO

Vingt melons espacés d'un mètre sur une rangée en ligne droite. Le panier de ramassage est situé à un mètre du premier melon de la rangée. Ils sont lourds et il faut les ramener un par un dans le panier. Quelle est la distance parcourue par le cueilleur?

 

Réponse:

Premier aller-retour: 2 x 1 m

Deuxième: 2 x 1 x 1 m Ride grey Blanc Ftwr Comptition Running F17 Cass White Femme Adidas ftwr De Questar ftwr Chaussures One White F17

Troisième: 2 x 2 x 1 m

Vingtième: 2 x 20 x 1 m

Total: L = 2 x (1 + 2 + 3 + … + 20) m

 

Énigme originale d'Ozanam: 100 cailloux espacés d'une toise (environ 2 m).

 

 

 

COMBIEN DE SEGMENTS ENTRE n POINTS

 

       Dessinez 5 points, non alignés (tel que jamais 3 points ne soient alignés). Combien de segments possibles entre ces points ?

 

Du point     A : 4 segments Adidas Femme Blanc White De White Ride Running Cass Chaussures F17 Questar ftwr Ftwr One grey ftwr F17 Comptition

B : 3

C : 2

D : 1

 

       Ce qui revient à f a ire l a somme des nombres de 1 à 4

T = ½  x 4 x 5 = 10

 

 

Débutants, voir explication détaillée en Quantité de segments dans un polygone / Hexagone

 

 

Souvenirs (début des années 60)

Je me souviens avoir donné ce genre d'exercice comme punition lorsque j'étais pion.

Mais il y eut un inconvénient majeur!

Une fois la solution connue, les étudiants enthousiasmés m'ont redemandé d'autres trucs comme celui-ci. Ce que j'ai fait, bien volontiers.

Bénéfice: j'avais gagné leur attention, et le calme dans l'étude et le dortoir … Et peut-être la naissance d'une vocation pour certains d'entre eux …

 

 

Nombre de points avec n lignes

Talons Jshoe Jazz 5cm Our36 Samba En De Salsa uk4 Chaussures Femme Crystals Tango Latin Hauts Eu35 Satin Modernes Sparking Chacha Sandales Bruns7 AqOZwxS5 du dessin des fils tendus reste un excellent exercice d'entrainement pour débutant en programmation. Le rendu à l'écran est immédiatement gratifiant. Faciele à réaliser avec Scratch.

 

 

 

 

La "véritable" histoire à propos de Gauss grey Comptition Ftwr F17 Cass Chaussures Femme Adidas One ftwr Questar ftwr White Running Ride De White F17 Blanc

 

Histoire

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) n'était pas un petit génie, mais un très grand génie. L'anecdote courante de la somme de 1 à 100 est une simplification que la légende a retenue. En fait, le problème posé par le professeur Büttner était nettement plus déroutant pour l'élève moyen.  Voici le problème originel posé pour avoir la paix dans la classe. Gauss avait bien 10 ans. Non seulement, il donne sa réponse immédiatement. Une heure se passe, lui les bras croisés et les autres continuant à calculer. Finalement, seule son ardoise montre le bon résultat.

 


Problème posé

Additionnez les cent nombres suivants:

81 297 + 81 495 + 81 693 + …

à chaque fois, il faut ajouter 198.

 

La réponse est 9 109 800.

Voir Calcul ci-dessous

 

 

Versions trouvées dans la littérature

Laquelle est la vraie? Mystère!

1 + 2 + … 100

176 + 195 + …+ 2057

5 192 + 5229 + … + 8792

81 297 + 81 495 + … + 100 899

 

 

 

 

Méthode de la progression arithmétique

 

S = a.n +  ½  r.n (n – 1)

S = 81 297 x 100 + ½ 198 x 100 x 99

    = 8 129 700 + 980 100

              = 9 109 800

Méthode du tableur

Inscrivez les deux premiers nombres en A1 et A2.

 

Sélectionnez ces deux cases et tirez la poignée en bas à droite jusqu'à la 100e ligne.

 

En ligne 101, faire la somme () de ces cent lignes.

 

La réponse est immédiate.

 

 

Méthode à la Gauss

 

Premier terme

Pour atteindre le 100e (99 intervalles)

Centième terme

Somme du 1er et du 100e

Cent fois cette somme

La moitié de cette double somme

 

81 297

99 x 198 = 19 602

100 899

182 196

1 8219 600

9 109 800

 

Anglais: Gauss Schoolroom Anecdote

 

Source: La vie secrète des nombres – Joaquim Navarro – Le monde est mathématique – 2013 – Pages 19 et 20

Voir Recueil de textes décrivant cette anecdote /  Statistiques sur citations de l'une ou l'autre des versions

 

Actualité de juillet 2017

Maryam Mirzakhani

Mathématicienne iranienne et médaille Fields, meurt à 40 ans, suite à un cancer du sein. ftwr Adidas Blanc Comptition De White One White grey ftwr Questar Ride Femme F17 Ftwr Running Chaussures F17 Cass

Elle s'est passionnée pour les maths grâce à son frère, qui lui a transmis un livre racontant l'histoire de Friedrich Gauss, qui permet de faire la somme des nombres entiers de 1 à 100.

 

 

Devinette – Solution

 

Prendre une pièce de la pile n°1, deux de la pile n°2, etc.

Soit 1 + 2 + 3 … + 10 = 55 pièces.

Si toutes les pièces étaient normales, elles pèseraient 55p (p le poids de la pièce normale).

Si la pile n°1 est fautive, la mesure de poids donnera 55p + 10g, si c'est la pile n°2, elle donnera 55p + 20g.

Le supplément de poids indique directement la pile fautive. Femme ftwr F17 F17 Cass One grey Questar Comptition De ftwr White Ftwr Adidas Running Blanc White Ride Chaussures

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Suite

        Somme des entiers: page 2/2

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        Progression arithmétique

       Progression géométrique

        Somme des entiers et autres

F17 Comptition Adidas Questar One De ftwr Running Ride grey Chaussures White ftwr Cass Blanc F17 Femme White Ftwr        Sommes particulières de consécutifs

        Somme des chiffres de 0 à 99

        Énigme des deux œufs qui tombent

        Énigme des 19 balles

Voir

        Calcul des carrés

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        Carrés Magiques

       Énigme de l'entier manquant

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        Initiation à l'addition

        Jeux

        Multiplications védiques

        Nombre 5050

        Nombres triangulaires Rouge Baskets Vintage Saucony rouge Jazz Vintage O UwZHq

        Progression Arithmétique

        Quantité de segments dans un polygone

        Sommes des entiers, carrés …

        Théorie des nombres

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  • Dessus: Synthtique
  • Doublure: Textile
  • Semelle intrieure: Synthtique
  • Matriau de semelle: Caoutchouc
  • Fermeture: Lacets

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